() [中山大学2018数分]  求幂级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1+\f{1}{2}+\cdots+\f{1}{n}}x^n}$ 的收敛域.   

 

() [中山大学2018数分]  函数 $\dps{f(x)=x\sin x^\f{1}{4}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是否一致连续? 试说明理由.   

 

() [中山大学2018数分]  讨论函数项级数 $\dps{\sum_{n=2}^\infty\f{x^n}{n\ln n}}$ 在 $[0,1)$ 上的一致收敛性.   

 

() [中山大学2018数分]  设 $f: \bbR\to\bbR$ 连续, $\dps{f_n(x)=\f{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\sex{x+\f{k}{n}}}$, 证明 $f_n(x)$ 在任意区间 $(a,b)$ 上一致收敛. 又问, $f_n(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上也一定一致收敛吗? 若否, 举出反例. 

 

() [中山大学2018高代]  设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足条件 $AB-BA=A$, 判断 $A$ 是否可逆, 并说明你的理由. 

 

() (1) 设 $n$ 阶实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 正定, 证明 $\det A\leq a_{11}\cdots a_{nn}$; (2) 设 $B,D$ 分别为 $n$ 阶, $m$ 阶实方阵, 且实矩阵 $\dps{H=\sexm{ B&C\\ C^T&D}}$ 正定, 证明: $\det H\leq \det B\cdot \det D$.   

 

() [华南理工大学2010数分]  设 $p$ 为正常数, 函数 $f(x)=\cos\sex{x^p}$. 证明: 当 $0<p\leq1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续.    

 

() [华南理工大学2010数分]  证明 $\dps{\int_a^b \e^{-xy}\rd y=\frac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}}$, 并计算积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}\rd x\ \sex{b>a>0}}$.   

 

() [华南理工大学2010数分]  令 $\dps{f(x,y)=\left\{\ba{cc}  \frac{\ln(1+xy)}{x},&x\neq 0,\\  y,&x=0.  \ea\right.}$ 证明 $f(x,y)$ 在其定义域内是连续的.    

 

() [华南理工大学2010数分]  求积分 $$\bex I=\iint_D\sex{\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}}\rd x\rd y,\eex$$ 其中 $D$ 由曲线 $\dps{\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1}$ 和 $x=c$, $y=c$ 所围成.   

 

() [华南理工大学2010数分]  设 $f$ 为定义在 $(a,\infty)$ 上的函数, 在每一有限区间 $(a,b)$ 上有界, 且 $$\bex  \lim_{x\to\infty}\sez{f(x+1)-f(x)}=A.\eex$$  证明: $\dps{\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=A}$.    

 

() [华南理工大学2010数分]  设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 证明:  $$\bex  \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}  \sum_{i=1}^nf(\xi_i)g(\theta_i)\lap x_i  =\int_a^bf(x)g(x)\rd x,\eex$$  其中  $\lap:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 为 $[a,b]$ 的任一分割;  $\xi_i,\theta_i\in [x_i,x_{i+1}]$, $\lap x_i=x_i-x_{i-1}$ $(i=1,2,\cdots, n)$;  $\dps{\lambda\sex{\lap}=\max_{1\leq i\leq n}\sev{\lap x_i}}$.   

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $m,n\in \bbN$. 证明: $\dps{\sex{x^m-1,x^n-1}=x^{(m,n)}-1}$.    

 

() [华南理工大学2010高代]  当 $a,b$ 为何值时, 下列线性方程组无解,有唯一解, 有无穷多解? 当方程组有解时, 写出其全部解.  $$\bex  \left\{\ba{lll}  x+y-z=0,\\  2x+(a+3)y-3z=3,\\  -2x+(a-1)y+bz=-1.  \ea\right.\eex$$   

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $V$ 是 $n$ 维线性空间 $(n\geq 3)$, 又设 $X$ 和 $Y$ 是 $V$ 的两个子空间, 并且 $\dim(X)=n-1$, $\dim(Y)=n-2$.  (1) 证明: $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\mbox{ or }n-3$.  (2) 证明: $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\lra Y\subset X$.  (3) 举例说明: 存在满足假设条件的线性空间 $V$ 及其子空间 $X$ 和 $Y$ 使得 $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\mbox{ or }n-3$.

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 若 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式均大于零, 而 $\det(A)=0$. 证明: $n$ 元二次型  $\dps{  f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx  }$  是半正定的, 其中 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$.    

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $\scrA $ 是实数域 $\bbR$ 的线性空间 $V$ 的线性变换, $\scrA ^2=\scrE$ (恒等变换). 令  $$\bex  V^+=\sed{x\in V;\ \scrA x=x},\ \ \  V^-=\sed{x\in V;\ \scrA x=-x}.\eex$$  证明: $V=V^+\oplus V^-$.    

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 为非零实 $1\times n$ 矩阵. 求 (1) $\rank(A^TA)$; (2) $A^TA$ 的特征值与特征向量.    

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $\alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的非零向量, 对 $\xi\in V$, 定义  $\dps{  \scrA\xi=\xi-\frac{2(\xi,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha, \xi\in V.  }$  (1) 证明: $\scrA$ 是 $V$ 的正交变换.  (2)  记 $W=\span\sed{\alpha}^\perp$, 则 $W$ 是 $(n-1)$ 维子空间, 并且  $\dps{  \scrA\xi=\left\{\ba{ll}  \xi,&\xi\in W,\\  -\xi,&\xi=\alpha.  \ea\right.  }$  (3)  设 $\dim(V)=4$. 令 $\ve_1,\ve_2,\ve_3,\ve_4$ 为 $V$ 的标准正交基, 并设  $\dps{  \alpha=-\frac{1}{2}\ve_1-\frac{1}{2}\ve_2  -\frac{1}{2}\ve_3+\frac{1}{2}\ve_4.  }$  求 $\scrA$ 在 $\ve_1,\ve_2,\ve_3,\ve_4$ 下的矩阵.    

 

() [华南理工大学2010高代]  在欧氏空间中有两组向量  $\dps{  \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s;  \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s.  }$  如果  (1) $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 和 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 都是两两正交的单位向量;  (2) $\span\sed{\alpha_1,\cdots,\alpha_i}  =\span\sed{\beta_1,\cdots,\beta_i}$,  $\forall\ 1\leq i\leq s$.  证明: $\alpha_i=\pm \beta_i$,  \ $\forall\ 1\leq i\leq n$.    

 

() [华南理工大学2010高代]  设 $A,B$ 都是实对称矩阵. 证明:  $$\bex  AB=BA\lra  \exists\mbox{ 正交阵 }  Q, \st  Q^{-1}AQ,\ Q^{-1}BQ  \mbox{ 同时为对角阵}.\eex$$    

 

() [华南理工大学2009数分]  设函数 $f(x)=\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)$, 其中 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某个小邻域有定义且在该点处可导. 求 $f'(0)$.    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $0<x<y<\pi$. 证明:  $\dps{  x\sin x+2\cos x+\pi x  <y\sin y+2\cos y+\pi y.  }$    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $x>0,\ y>0$. 求 $f(x,y)=x^2y\sex{4-x-y}$ 的极值.    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $\dps{f(x)=\frac{  \int_0^x du\int_0^{u^2}\arctan(1+t)\rd t  }{x(1-\cos x)}}$. 求 $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)}$.

 

() [华南理工大学2009数分]  计算 $\dps{\oint_Cx\rd y-y\rd x}$, 其中 $C$ 为椭圆 $(x+2y)^2+(3x+2y)^2=1$, 方向为逆时针方向.    

 

() [华南理工大学2009数分]  计算 $\dps{\iint_S (x-y)\rd x\rd y+x(y-z)\rd y\rd z}$, 其中 $S$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及平面 $z=0$, $z=3$ 所围成的空间区域 $\Om$ 的整个边界, 取外侧.    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $f(x)=\sin \sqrt{x}$. 判断 $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上是否一致连续, 并给出证明.    

 

() [华南理工大学2009数分]  计算积分 $\dps{\iint_D\min\sed{x^2y,2}\rd x\rd y}$, 其中  $\dps{  D=\sed{(x,y);\ 0\leq x\leq 4,\ 0\leq y\leq 3}.  }$    

 

() [华南理工大学2009数分]  计算积分 $\dps{I(y)  =\int_0^\infty \e^{-x^2}\sin 2xy\rd x}$.    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $\dps{f(x,y)=\left\{\ba{ll}  \frac{xy^2}{x^2+y^2},&\mbox{当 }x^2+y^2\neq0,\\  0,&\mbox{当 }x^2+y^2=0.  \ea\right.}$ 讨论以下性质:   (1) $f$ 的连续性;  (2) $f_x$, $f_y$ 的存在性及连续性;  (3) $f$ 的可微性.    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $x_0=\sqrt{6}$, $\dps{x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}}$, $n\in \bbN$. 判断级数 $\dps{\sum_{n=0}^\infty \sqrt{3-x_n}}$ 的敛散性.    

 

() [华南理工大学2009数分]  设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数. 证明: (1) 若 $\dps{\lim_{\sev{x}\to+\infty}f'(x)=\alpha>0}$, 则方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根; (2) 若 $\dps{\lim_{\sev{x}\to+\infty}f(x)=0}$, 则方程 $f'(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根.    

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $f(x)$, $g(x)$ 是 $\bbP[x]$ 中的多项式, 且  $$\bex  g(x)=s^m(x)g_1(x)(m\geq 1),\ \ \  (s(x),g_1(x))=1,\ \ \  s(x)|f(x).\eex$$  证明: 不存在 $f_1(x),r(x)\in \bbP[x]$, 且 $r(x)\neq 0$, $\p \sex{r(x)}<\p \sex{s(x)}$, 使得  $$\bee\label{hnlg09_gd_1:eq}  \frac{f(x)}{g(x)}  =\frac{r(x)}{s^m(x)}  +\frac{f_1(x)}{s^{m-1}(x)g_1(x)}.  \eee$$

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $\bbP[x]_n$ 表示数域 $\bbP$ 上所有次数 $<n$ 的多项式及零多项式构成的线性空间. 令多项式  $$\bee\label{hnlg09_gd_2:a}  f_i(x)=(x-a_1)\cdot \cdots \cdot  (x-a_{i-1})  (x-a_{i+1})\cdot \cdots \cdot  (x-a_n),\quad i=1,2,\cdots,n,  \eee$$  其中 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是数域 $\bbP$ 中 $n$ 个互不相同的数.  证明: $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 是 $\bbP[x]_n$ 的一组基.  在 \eqref{hnlg09_gd_2:a} 中, 取 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为全体 $n$ 次单位根. 求由基 $1,x,\cdots,x^{n-1}$ 到基 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 的过渡矩阵.    

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2=A$, 且 $\rank(A)=r$. (1) 证明: $\tr(A)=r$. (2) 求 $\det\sex{A+E}$ 的值.

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $\ve_1,\ve_2,\ve_3$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基, 设  $$\bex  \alpha_1=\ve_1+\ve_2-\ve_3,\  \alpha_2=\ve_1-\ve_2-\ve_3,\  W=\span\sed{\alpha_1,\alpha_2}.\eex$$  (1) 求 $W$ 的一组标准正交基.  (2) 求 $W^\perp$ 的一组标准正交基.  (3) 求 $\alpha=\ve_2+2\ve_3$ 在 $W$ 中的内射影 (即求 $\beta\in W,\st \alpha=\beta+\gamma,\ \gamma\in W^\perp$), 并求 $\alpha$ 到 $W$ 的距离.    

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $\scrA$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换, $f(x),g(x)\in P[x]$. 证明: (1) $f(\scrA)^{-1}(0)  +g(\scrA)^{-1}(0)  \subset \sex{f(\scrA)g(\scrA)}^{-1}(0)$. (2) 当 $\sex{f(x),g(x)}=1$ 时, 有  $\dps{  f(\scrA)^{-1}(0)\oplus g(\scrA)^{-1}(0)  =\sex{f(\scrA)g(\scrA)}^{-1}(0).  }$    

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$ 为 $n$ 元二次型. 若矩阵 $A$ 的顺序主子式 $\lap_k (k=1,2,\cdots,n)$ 都不为零. 证明: $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 可经过非退化的线性变换化为下述标准型  $$\bex  \lambda_1y_1^2  +\lambda_2y_2^2  +\cdots  +\lambda_ny_n^2,\eex$$  这里 $\dps{\lambda_i=\frac{\lap_i}{\lap_{i-1}},\ i=1,2,\cdots,n}$, 并且 $\lap_0=1$.    

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $A,B$ 分别为数域 $\bbP$ 上的 $m\times n$ 与 $n\times s$ 矩阵, 又设  $$\bex  W=\sed{B\alpha;\ AB\alpha=0,  \ \alpha\in \bbP^{s\times 1}}\subset \bbP^{n\times 1}.\eex$$  证明:  $\dps{  \dim(W)=\rank(B)-\rank(AB).  }$    

 

() [华南理工大学2009高代]  设 $f(x,y)$ 为定义在数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个双线性函数. 证明:  $$\bex  \dps{f(x,y)=x^TAy=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j}\eex$$  可以表示成两个线性函数  $\dps{  f_1(x)=\sum_{i=1}^n b_i x_i,  f_2(y)=\sum_{i=1}^n c_i y_i,  }$  之积的充分必要条件是 $f(X,Y)$ 的度量矩阵 $A$ 的秩 $\leq 1$.    

 

() [浙江大学2010数分]  求极限 $\dps{\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n^2}^{(n+1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}}}$.    

 

() [浙江大学2010数分]  求积分 $\dps{\iint_{[0,\pi]\times [0,1]}y\sin(xy)\rd x\rd y}$.    

 

() [浙江大学2010数分]  求极限 $\dps{\lim_{x\to 0} \frac{\e^x\sin x -x(1+x)} {\sin^3 x}}$.    

 

() [浙江大学2010数分]  计算 $\dps{ \iint_\Sigma z\rd x\rd y }$ 其中 $\Sigma$ 是三角形 $\dps{\sed{(x,y,z);\ x,y,z\geq 0, \ x+y+z=1}}$, 其法方向与 $(1,1,1)$ 相同.    

 

() [浙江大学2010数分]  求积分 $\dps{\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\sin x}\rd x}$.

 

() [浙江大学2010数分] $\dps{\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\rd x}$

 

() [浙江大学2010数分] 设 $a_n=\sin a_{n-1}$, $n\geq 2$, 且 $a_1>0$. 计算 $\dps{ \lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{n}{3}}a_n. }$

 

() [浙江大学2010数分] 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, $n$为 奇数. 证: 若 $\dps{ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^n} =\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x^n} =1. }$ 则方程 $f(x)+x^n=0$ 有实根.

 

() [浙江大学2010数分] 证明 $\dps{ \int_0^\infty \frac{\sin xy}{y}\rd y }$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致连续 (其中 $\delta>0$).

 

() [浙江大学2010数分] 设 $f(x)$ 连续. 证明 Possion 公式: $$\hj{ \int_{x^2+y^2+z^2=1} f(ax+by+cz)\rd S=2\pi \int_{-1}^1 f\sex{\sqrt{a^2+b^2+c^2}t}\rd t. }$$

 

() [浙江大学2010数分] 设 $\sed{a_n}_{n\geq 1},\sed{b_n}_{n\geq 1}$ 为 实数序列, 满足 (1) $\dps{\lim_{n\to+\infty} \sev{b_n}=\infty}$; (2) $\dps{\sed{\frac{1}{\sev{b_n}} \sum_{i=1}^{n-1} \sev{b_{i+1}-b_i}}_{n\geq 1}}$ 有界. 证明: 若 $\dps{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n} {b_{n+1}-b_n} }$ 存在, 则 $\dps{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} }$ 也存在.

 

() [浙江大学2010高代] 设多项式 $\sex{f_1(x),\cdots,f_k(x)}=1$, $A\in \bbP^{n\times n}$, $X\in \bbP^{n\times 1}$. 求证: $$\bex f_i(A)X=0,\ \forall\ 1\leq i\leq k \ra X=0.\eex$$

 

() [浙江大学2010高代] 设 $\dps{ \beta_1=\sex{\ba{cccc} 2\\ 3\\ 3\\ -1 \ea}, \beta_2=\sex{\ba{cccc} 1\\ 1\\ 2\\ 0 \ea}, \beta_3=\sex{\ba{cccc} 0\\ 2\\ -1\\ -1 \ea}, \beta_4=\sex{\ba{cccc} 0\\ -1\\ 2\\ 2 \ea}. }$ 又设 $$\bex \alpha_1=\sex{\ba{cccc} 3\\ 8\\ 3\\ -3 \ea},\quad \alpha_2=\sex{\ba{cccc} 2\\ 5\\ 2\\ -2 \ea},\quad \sex{\ba{cccc} -1\\ 4\\ -4\\ -2 \ea}\eex$$ 为 $V=\span\sed{\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4}$ 的一组基 $(I)$. (1) 求线性空间 $V$ 的由 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 中的一部分向量组成的一组基 $(II)$. (2) 求出由基 $(I)$ 到 基 $(II)$ 的过渡矩阵. (3) 求出 $\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$ 中除掉基 $(II)$ 的向量外, 剩余向量 $\beta_i$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的坐标.

 

() [浙江大学2010高代] 考虑线性方程组 $\dps{ \left\{\ba{rcl} x_1-x_2-x_3+x_4&=&1,\\ x_1+x_2-3x_3+x_4&=&1. \ea\right. }$ (1) 求该方程的解. (2) 求全体解集合向量组的极大无关组.

 

() [浙江大学2010高代] 设 $\scrA$, $\scrB$ 是某数域上的 $n$ 维线性空间上的两个线性变换, 满足 $ \scrA \scrB =\scrB \scrA$, $ \exists\ N\in \bbZ_+,\st \scrA^N=0. $ 证明: $\dps{\scrA+\scrB \mbox{ 是可逆线性变换} \lra \scrB \mbox{ 是可逆线性变换}. }$

 

() [浙江大学2010高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. 证明: 存在幂等矩阵 $B_i,\ 1\leq i\leq s$, 使得 $\dps{ A=\sum_{i=1}^s\lambda_iB_i,\ \lambda_i\in \bbR. }$.

 

() [浙江大学2010高代] 用正交变换将矩阵 $\dps{ A=\sex{\ba{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \ea}}$ 化成对角阵, 并求 $A^3+3A^2+4A+6E$.

 

() [浙江大学2010高代] 设 $f(x)$ 是复系数一元多项式, 且满足 $$\bee\label{zd10_gd_7:eq} n\in \bbZ\ra f(n)\in \bbZ. \eee$$ 证明: $f(x)$ 的系数都是有理数. 举例说明存在不是整系数的多项式满足 \eqref{zd10_gd_7:eq}.

 

() [浙江大学2010高代] 设 $a,b\in \bbC$, 根据不同的 $a,b$, 求 $n$ 阶上三角阵 $\dps{ A=\sex{\ba{ccccc} a&b&\cdots&b&b\\ &a&\cdots&b&b\\ &&\ddots&\vdots&\vdots\\ &&&a&b\\ &&&&a \ea} }$ 的最小多项式和 Jordan 标准型.

 

() [浙江大学2010高代] 设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 是欧氏空间中一组两两正交的单位向量, 又设 $\alpha\in V$. (1) 证明: Bessel 不等式 $\dps{ \sum_{i=1}^k(\alpha,\alpha_i)^2\leq \sev{\alpha}^2. }$ (2) 证明: 向量 $\dps{\beta =\alpha-\sum_{i=1}^k (\alpha,\alpha_i)\alpha_i}$ 与每个 $\alpha_i$ 都正交.

 

() [浙江大学2010高代] 设复线性空间 $V$ 有一线性变换 $\scrA$, 且 $\scrA$ 的特征多项式为 $\dps{ f(\lambda)=\sex{\lambda-\lambda_1}^{r_1} \sex{\lambda-\lambda_2}^{r_2}. }$ 证明: 根子空间 $V_{\lambda_i}=\Ker\sex{\scrA-\lambda_i \scrE}^{r_i}\ (i=1,2)$ 均为 $\scrA-$不变子空间.

 

() [浙江大学2009数分] 求 $\dps{\int \frac{1}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}\rd x\ (ab\neq 0)}$.

 

() [浙江大学2009数分] 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x \e^\frac{t^2}{2}\cos t\rd t-x}{(\e^x-1)^2(1-\cos^2x)\arctan x}}$.

 

() [浙江大学2009数分] 求 $\dps{\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$.

 

() [浙江大学2009数分] 求 $\dps{\iint_D (x+y)\sgn(x-y)\rd x\rd y}$, 其中 $\dps{D=[0,1]\times[0,1]}$.

 

() [浙江大学2009数分] 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某领域内可导, 且 $\dps{\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}=\frac{1}{2}}$. 证明 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取极小值.

 

() [浙江大学2009数分] 设 $f(x,y,z)$ 表示从原点到椭球面 $\dps{\varSigma:\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a>0,b>0,c>0)}$ 上点 $p(x,y,z)$ 处的切平面的距离. 求第一型曲面积分 $\dps{\iint_\varSigma\frac{\rd S}{f(x,y,z)}}$.

 

() [浙江大学2009数分] 设 $f(x)$ 在 $\dps{[a,b]}$ 上连续,且 $\dps{\min_{x\in[a,b]}f(x)=1}$. 证明: $\dps{ \lim_{n\to\infty} \sed{ \int_a^b\frac{\rd x}{\sez{f(x)}^n} } ^\frac{1}{n}=1 }$.

 

() [浙江大学2009数分] 设对任意 $a>0$, $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上黎曼可积,且 $\dps{\lim_{x\to\infty} f(x)=C}$. 证明: \[ \lim_{t\to 0^+}t\int_0^{+\infty}\e^{-tx}f(x)\rd x=C. \]

 

() [浙江大学2009数分] 证明 $\dps{f(x)=\frac{\sev{\sin x}}{x}}$ 在 $(0,1)$ 与 $(-1,0)$ 上均一致连续, 但在 $\dps{(-1,0)\cup (0,1)}$ 上不一致连续.

 

() [浙江大学2009数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: $$\hj{ \sev{\int_a^b\cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{f'(b)}. }$$

 

() [浙江大学2009高代] 设 $\bbP$ 是数域, 在 $n$ 个变元的多项式环 $\bbP[x_1,\cdots,x_n]$ 中引入对第 $k$ 个变元的偏导子, 由下列式子定义: $\dps{ \frac{\p}{\p x^k} \sex{\sum_{i_1\cdots i_n}a_{i_1\cdots i_n} x_1^{i_1}\cdots x_k^{i_k}\cdots x_n^{i_n}} =\sum_{i_1\cdots i_n} i_k a_{i_1\cdots i_n} x_1^{i_1}\cdots x_k^{i_k-1}\cdots x_n^{i_n}, }$ 其中 $a_{i_1\cdots i_n}\in \bbP$. (1) 证明: 在 $\dps{\frac{\p}{\p x^k}}$ 下取零值的多项式集合是 $(n-1)$ 个变元的多项式环 $\bbP[x_1,\cdots,x_{k-1},x_{k+1},\cdots,x_n]$. (2) 设 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是一个 $m$ 次齐次多项式. 证明: $$\bex \sum_{k=1}^n x_k \frac{\p f}{\p x^k}(x_1,\cdots,x_n) =mf(x_1,\cdots,x_n).\eex$$ 该式称为 Euler 恒等式. 反之, 证明: 对任意正整数 $m$, 满足 Euler 恒等式的多项式必为 $m$ 次齐次多项式.

 

() [浙江大学2009高代] 设 $\dps{A=\sex{\ba{cccc} 2a_1b_1&a_1b_2+a_2b_1&\cdots&a_1b_n+a_nb_1\\ a_2b_1+a_1b_2&2a_2b_2&\cdots&a_2b_n+a_nb_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_nb_1+a_1b_n&a_nb_2+a_2b_n&\cdots&2a_nb_n \ea}}$. 计算 $\det(A)$.

 

() [浙江大学2009高代] 设 $\dps{A=\sex{\ba{ccccc} 1&-1&0&-1&-2\\ -1&2&1&3&6\\ 0&1&1&2&4\\ 0&-1&-1&1&2 \ea}}$. 记 $\bbR^{5\times 2}$ 为实数域 $\bbR$ 上所有 $5\times 2$ 阶矩阵组成的线性空间. 再设 $\dps{ W=\sed{B\in \bbR^{5\times 2};\ AB=0}. }$ 证明: $W$ 是 $\bbR^{5\times 2}$ 的子空间, 并求出它在 $\bbR$ 上的维数.

 

() [浙江大学2009高代] 设 $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$ 是实数. 给出一个次数不超过 $2$ 的实系数多项式 $f(x)$ 使得满足 $$\bee\label{zd09_gd_4:eq} f(-1)=\alpha,\ f(1)=\beta,\ f(3)=\gamma,\ f(0)=\delta \eee$$ 的充要条件.

 

() [浙江大学2009高代] 设 $x,y\in \bbR\bs\sed{0}$, $\scrA,\scrB$ 是实数域上某个 $n$ 维线性空间上的两个线性变换, 满足 $\scrA \scrB=x\ \scrA+y\ \scrB$. 证明: $\scrA \scrB=\scrB \scrA$.

 

() [浙江大学2009高代] 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵. 证明: 存在某个充分大的实数 $\alpha$, 使得 $\bbR^n$ 关于运算 $$\bex \sex{\alpha,\beta}=\alpha^T(A+\alpha E)\beta,\ \alpha\in \bbR^n,\ \beta\in \bbR^n\eex$$ 构成一个欧氏空间.

 

() [浙江大学2009高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 零是 $A$ 的 $k$ 重特征值. 证明: $\rank(A^k)=n-k$.

 

() [浙江大学2009高代] 用正交变换将矩阵 $\dps{ A=\sex{\ba{ccc} -1&3&-3\\ 3&-1&-3\\ -3&-3&5 \ea}}$ 化成对角阵, 并求 $A^3+3A^2+4A+6E$.

 

() [浙江大学2009高代] 对 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换 $\scrA$, 若存在固定的单位向量 $\eta\in V$, 使对 $\alpha\in V$, 有 $$\bex \scrA(\alpha)=\alpha-2(\alpha,\eta)\eta,\eex$$ 则称 $\scrA$ 是 $V$ 上的镜面反射, $\scrA$ 在标准正交基下的矩阵称为镜面反射矩阵. 证明: $n$ 阶实方阵 $A$ 是镜面反射矩阵当且仅当存在单位向量 $\omega\in \bbR^n$, 使得 $A=E-2\omega \omega^T$.

 

() 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵. (1) 证明: $A$ 的最小多项式等于 $A$ 的特征矩阵 $\lambda E-A$ 的最高次不变因子. (2) 求 $\dps{A=\sex{\ba{ccc} -1&-2&6\\ -1&0&3\\ -1&-1&4 \ea}}$ 的最小多项式.

 

() [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $E=[0,1]$, $F$ 是 Cantor 集, $\dps{ f(x)=\seddm{ \e^x,&x\in [0,1/2)\bs F\\ \cos \pi x,&x\in [1/2,1]\bs F\\ \e^{x^2},&x\in F } }$, 试求 $\dps{\int_E f(x)\rd x}$.

 

() [南京师范大学2004实变函数复试试题] 求极限 $\dps{\vlm{n}\int_{[0,1]} \f{nx}{1+n^2x^2}\e^{\sin x}\rd x}$.

 

() [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $A$ 是无限集, $B$ 为至多可数集, 则 $A\cup B$ 与 $A$ 对等.

 

() [南京师范大学2004实变函数复试试题] 试证: (1) $A$ 为任意集, 则 $$\bex m^*A=\inf\sed{mG;\ A\subset G,\ G\mbox{ 为开集}};\eex$$ (2) $A$ 为任意集, 则存在可测集 $B$, 使得 $B\supset A$, 且 $m^*A=mB$.

 

() [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $E$ 可测, $f$ 在 $E$ 上有定义, 且满足: $\forall\ \ve>0$, 存在 $E$ 的可测子集 $E_\ve$, 使得 $f$ 在 $E_\ve$ 上可测, 且 $m(E\bs E_\ve)<\ve$, 则 $f$ 在 $E$ 上可测.

 

() [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $\sed{f_n}$ 为可测集 $E$ 上的可测函数列, 且 $\dps{\vsm{n}\int_E|f_n(x)|\rd x<\infty}$, 试证: (1) $\dps{\vlm{n}f_n(x)=0,\ae}$ 于 $E$; (2) $\dps{\vsm{n}f_n(x)}$ 为 $E$ 上的可测函数, 且 $\dps{\int_E \vsm{n}f_n(x)\rd x =\vsm{n}\int_E f_n(x)\rd x}$.

 

() [南京师范大学2016实变函数复试试题] (1). 叙述可测集 $E\subset \bbR^n$ 上可测函数的定义, 并讨论函数 $f(x)$ 与 $|f(x)|$ 可测性之间的关系. (2). 证明 $\bbR^n$ 中的任意开集必可表成可数个闭集之并.

 

() [南京师范大学2016实变函数复试试题] 证明对任意 $p>0$, $\dps{\vlm{n}\int_0^\infty \f{\ln^p(x+n)}{n}\e^{-x}\cos x\rd x=0}$.

 

() [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设在 $E$ 上 $f_n\ra f$, 则存在子列 $\sed{f_{n_k}}$ 在 $E$ 上 $\ae$ 收敛于 $f$.

 

() [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $f(x)$ 是 $E$ 上的函数, 对任意 $\del>0$, 存在闭子集 $E_\del\subset E$, 使得 $f(x)$ 在 $E_\del$ 上连续, 且 $m(E\bs E_\del)<\del$. 证明: $f$ 是 $E$ 上 $\ae$ 有限的可测函数.

 

() [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $f_n(x)$ 为可测集 $E$ 上 $\ae$ 有限的可测函数列 ($mE>0$), 而 $f_n(x)$ 在 $E$ 上 $\ae$ 收敛, 证明存在常数 $C$ 及正测度集 $E_0\subset E$ 使得在 $E_0$ 上, 对任意 $n$, 有 $|f_n(x)|\leq C$.

 

() [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $mE<+\infty$, $f_n(x),f(x)$ 在 $E$ 上均 $\cal$ 可积, 则 $\dps{ \vlm{n}\int_E |f_n(x)-f(x)|\rd x=0 }$ 当且仅当 (1). $f_n\ra f$; (2). 对任给 $\ve>0$, 存在 $\del>0$, 使对一切 $A\subset E$, $mA<\del$, 有 $\dps{\int_A|f_n(x)|\rd x<\ve}$.

 

() [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且有界, 证明: 方程 $\dps{\f{\rd y}{\rd x}+y=f(x)}$ 的所有解均在 $[0,+\infty)$ 上有界. 

 

 

() [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 证明: 对任意的 $x_0$ 及满足条件 $0<y_0<1$ 的 $y_0$, 方程 $$\bex \f{\rd y}{\rd x} =\f{y(y-1)}{1+x^2+y^2}\eex$$ 的满足条件 $y(x_0)=y_0$ 的解 $y=y(x)$ 的存在区间是 $(-\infty,+\infty)$.

 

() [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 在方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 中, $p(x)$ 和 $q(x)$ 在区间 $I$ 上连续且 $p(x)\neq 0$. $\varphi(x)$ 和 $\phi(x)$ 是它的两个解, $W(x)$ 是它们的 Wronsky 行列式. (1). 试叙述 Liouville 公式; (2). 若 $\varphi(x)$ 和 $\phi(x)$ 线性无关, 证明: $W(x)$ 是区间 $I$ 上的严格单调函数.

 

() [南京师范大学2016常微分方程复试试题] (1). 设初值问题 $\dps{ \seddm{ \f{\rd X}{\rd t}=f(t,X)\\ X(t_0)=X_0 } }$ (其中 $X_0\in\bbR^n, f(t,0)\equiv 0$) 的解为 $X=\varphi(t,t_0,X_0)$, 叙述此问题零解稳定和渐近稳定的概念. (2). 给定方程 $\dps{\f{\rd^2x}{\rd t^2} +f(x)=0}$, 其中 $f(x)$ 是连续函数且满足 $f(0)=0$, 当 $x\neq 0$ 时, $xf(x)>0,\ (-k<x<k)$. 试将其化为一阶微分方程组, 并用形如 $\dps{V(x,y)=\f{1}{2}y^2+\int_0^x f(s)\rd s}$ 的 Lyapunov 函数讨论方程组零解的稳定性.

 

() [南京师范大学2016常微分方程复试试题] (1). 叙述初值问题 $\dps{\seddm{ \f{\rd y}{\rd x}=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0}}$ 解的存在与唯一性定理. (2). 简述此定理存在性的证明. (3). 叙述 Bellman 不等式并利用此不等式证明解的唯一性.

 

() [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 求方程组 $\dps{ \seddm{ \f{\rd x}{\rd t}&=x&-&y&-&z\\ \f{\rd y}{\rd t}&=x&+&y&&\\ \f{\rd z}{\rd t}&=3x&&&+&z } }$ 的通解.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 求极限 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{\e^{x^2}-\sqrt{\cos 2x}\cos x}{x-\ln (1+x)}}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 求不定积分 $\dps{\int x[3+\ln (1+x^2)]\arctan x\rd x}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 求级数 $\dps{\vsm{n}\f{x^n}{n(n+1)}}$ 的和.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $f(x)$ 连续且 $\dps{f(x)=3x+\int_0^x (t-x)^2f(t)\rd t}$, 求 $f^{(2017)}(0)$ 的值.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $f(x)=\sin (\pi x^2)$, 求 $\dps{\vlm{x}x \sez{f\sex{x+\f{1}{x}}-f(x)}}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 已知 $f(x)$ 连续且 $f(x+2)-f(x)=\sin x$, $\dps{\int_0^2 f(x)\rd x=0}$, 求积分 $\dps{\int_1^3 f(x)\rd x}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 计算曲线积分 $\dps{\int_L \f{(x-1)\rd y-y\rd x}{(x-1)^2+y^2}}$, 其中 $L$ 是从 $(-2,0)$ 到 $(2,0)$ 的上半椭圆 $\dps{\f{x^2}{4}+y^2=1}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, 证明: $\dps{ \max f(x)-\min f(x)\leq \sqrt{\int_0^1 [f'(x)]^2\rd x}. }$

 

() [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $g$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且 $\dps{\vlmp{x}g(x)=\infty}$, 证明: $f(x)=xg(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致连续.

 

() [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 求曲线 $C:\ y=x^2$ 与直线 $L:\ y=x$ 所围图形绕直线 $L$ 旋转所成旋转体的体积.

 

() [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 计算 $\dps{\iint_D |xy|\rd x\rd y}$, $\dps{D=\sed{(x,y);\f{x^2}{a^2}+\f{y^2}{b^2}\leq 1}}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 证明: $(\cos x)^p\leq \cos(px)$, $\dps{x\in \sez{0,\f{\pi}{2}},\ 0<p<1}$.

 

() [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, $f(0)=0$. 证明: $\dps{ |f(x)|\leq \sqrt{\int_0^1 [f'(x)]^2\rd x}. }$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] $a\neq b$, 则 $\dps{\vlmc{x}{0}\f{\e^{bx}-\e^{ax}}{\sin bx-\sin ax}=}$____.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 并设 $\dps{ \int_0^1 f(x)\rd x=2}$, 则 $\dps{\int_0^1 \rd x\int_x^1 f(x)f(y)\rd y=}$____.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且对任意给定的实数 $\al$, 有 $\dps{g(x)=\int_x^{\al+3x}f(t)\rd t}$ 为常值函数, 则函数 $f(x)$ 的表达式为_____.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 曲线 $\dps{y=f(x)=\f{2}{1+x^{2n}}}$, 记其在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点为 $(x_n,0)$, 则 $\dps{\vlm{n}x_n=}$_____.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $\dps{f(x)=\seddm{ \f{2-2\cos x}{x^2},&x\neq 0\\ 1,&x=0 }}$, 则 $f''(0)=$_____.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的邻域内有定义, 且 $\dps{\vlmc{h}{0}\f{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}=2}$, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点 (   ) A. 不连续    B. $f'(x_0)=2$    C. 连续, 不可导    D. 条件不足, 无法确定连续性和可导性

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的导数, 且满足 $\dps{\vlmp{x}[f(x)+f'(x)]=1}$, 则 (   ) A. $\dps{\vlmp{x}f'(x)=0}$    B. $\dps{\vlmp{x}f'(x)}$ 不能判断    C. $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 不能判断    D. 以上都不正确

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 考虑下列关于数列的描述: $1^o$ 对于数列 $\sed{a_n}$, 如果 $\sed{a_{2n}}$ 和 $\sed{a_{2n-1}}$ 都是收敛的, 则该数列一定是收敛的; $2^o$ 数列 $\sed{a_n}$, 如果数列 $\sed{a_{n+1}-a_n}$ 收敛于 $0$, 则数列 $\sed{a_n}$ 是收敛的; $3^o$ $\sed{a_n}$ 的极限为 $0$ 和数列 $\sed{|a_n|}$ 的极限为 $0$ 是等价的; $4^o$ 数列 $\sed{a_n}$ 收敛, 数列 $\sed{b_n}$ 有界, 则数列 $\sed{a_nb_n}$ 是收敛的. 其中正确的结论个数为 (   ) A. $1$    B. $2$    C. $3$    D. $4$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 已知函数 $f(x,y)=\e^y(x^2+y-2x)$, 则它在点 $(1,0)$ 处取 (   ) A. 极小值 $-1$    B. 极大值 $-1$    C. 不取极值    D. 取极大值 $1$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $\dps{f(x)=\f{2+\e^\f{1}{x}}{1+\e^\f{2}{x}}+\f{\tan x}{|x|}}$, 则 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的 (   ). A. 无穷间断点    B. 跳跃间断点    C. 可去间断点    D. 以上都不正确

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $\dps{z=f(x,y),\ \f{\p^2f}{\p x^2}=6x,\ \f{\p f}{\p x}(0,y)=y,\ f(0,y)=1+y^2}$, 求函数 $f(x,y)$.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 证明 $\dps{ \int_0^{2017} \f{1}{x}\sed{ 1-\sex{1-\f{x}{2017}}^{2017} }\rd x=1+\f{1}{2}+\f{1}{3}+\cdots+\f{1}{2017}. }$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上取正值的连续函数, $D$ 为 $a\leq x\leq b,\ a\leq y\leq b$. 证明: $$\bex \iint_D \f{f(x)}{f(y)}\rd \sigma\geq (b-a)^2.\eex$$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0$, $f'(0)=8$, 求极限 $\dps{ \vlmc{t}{0^+}\f{1}{\e^{\sin^4t}-1}\int_0^T\rd x \int_x^1 f(xy)\rd y. }$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续的二阶导数, 且 $f(a)=f(b)=0$, $\dps{M=\max_{x\in [a,b]}|f''(x)|}$. 求证: $\dps{ \sev{\int_a^b f(x)\rd x}\leq \f{M}{12}{(b-a)^3}. }$

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $f(x,y)$ 在 $D:\sed{(x,y);x^2+y^2\leq 1}$ 上由连续的偏导数, 且在边界 $x^2+y^2=1$ 上满足 $f(x,y)=0$. 求极限 $\dps{ \vlmc{\ve}{0^+}\iint_{D_\ve}\f{x\f{\p f}{\p x}+y\f{\p f}{\p y}}{x^2+y^2}\rd x\rd y, }$ 其中 $D_\ve$ 为 $\ve^2\leq x^2+y^2\leq 1$.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x,y)$ 在区间 $\dps{\sez{0,\f{3}{2}}}$ 上连续, 在 $\dps{\sex{0,\f{3}{2}}}$ 上可导, 且在该区间上满足 $|f'(x)|\leq |f(x)|$ 以及 $f(0)=0$. 求证: $f(x)\equiv 0$.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 计算曲线积分 $\dps{I=\oint_C\f{xy^2\rd x-yx^2\rd y}{(x^2+y^2)^2}}$, 其中 $C$ 为正向曲线 $2x^2+3y^2=1$.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $\dps{f(x,y)=\seddm{ \e^{(x+y+z)^2},&x^2+y^2+z^2\leq 1\\ 0,&x^2+y^2+z^2>0 }}$, $\vSa$ 为曲面 $x+y+z=t$, 求 $\dps{I=\iint_\vSa f(x,y,z)\rd S}$.

 

() [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设 $a_1>0$, $\dps{a_{n+1}=\f{2}{1+a_n^2},\ n=1,2,3,\cdots}$. 讨论数列 $\sed{a_n}$ 的收敛性.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 试问: 在 $\bbR^3$ 中, $(3x+y)(y+2z)=3x+2y+2z$ 是柱面方程么? 若是, 请求出它的母线方向向量.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵, 证明: (1) 若 $AB=BA=0$, $\r(A^2)=\r(A)$, 则 $\r(A+B)=\r (A)+\r(B)$; (2) 若 $AB=BA=0$, 则存在正整数 $m$, 使得 $\r(A^m+B^m)=\r(A^m)+\r(B^m)$.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵, $A^2=A$, 若对于任意的列向量 $x\in\bbR^n$, 恒有 $x^TA^TAx\leq x^Tx$ 成立, 证明: $A^T=A$.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $\dps{a_n=\int_0^1 x^n(1-x)^n\rd x,\ n=1,2,\cdots}$. (1) 求 $a_n$; (2) 证明: $\dps{\vlm{n}4^na_n=0}$; (3) 证明: 存在正整数数列 $\sed{n_k}$, $n_1<n_2<n_3<\cdots$, 使得级数 $\dps{\vsm{k}4^{n_k}a_{n_k}}$ 收敛.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $f(x)\in C(-\infty,+\infty)$, 且对 $\forall\ x\neq y$, $f(x)\neq f(y)$. 若对 $\forall\ x\in (-\infty,+\infty), f(2x-f(x))=x$. (1) 求证: $\sed{f_n(x)}_{n=1}^\infty$ 是等差数列, 其中 $f_n(x)=\underbrace{f\circ \cdots \circ f}_n(x)$; (2) 设 $\sed{f_n(x)}_{n=1}^\infty$ 的公差是 $d(x)$, 证明: $d(x)$ 是常值函数.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 设函数列 $\sed{u_n(x)}$, $u_n(x)\in C[a,b]$, $n=1,2,\cdots$. 若 $\dps{S(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x),\ x\in [a,b]}$. 证明: $S(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最小值.

 

() [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的一阶导数, 且对 $\forall\ x,y\in (-\infty,+\infty)$, $x<y$, 有 $\dps{f(y)-f(x)=f'\sex{\f{x+y}{2}}(y-x)}$. 求证: $f(x)$ 是一条抛物线 (直线, 常值函数).

 

() [北京大学2017数分] 证明 $\dps{\vlm{n}\int_0^\f{\pi}{2} \f{\sin^nx}{\sqrt{\pi-2x}}\rd x=0}$.

 

() [北京大学2017数分] 证明 $\dps{\vsm{n}\f{1}{1+nx^2}\sin \f{x}{n^\al}}$ 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 $\dps{\al>\f{1}{2}}$.

 

() [北京大学2017数分] 设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: $\dps{\lim_{s\to 0^+}\vsm{n}a_nn^{-s} =\vsm{n}a_n}$.

 

() [北京大学2017数分] 设 $I$ 是区间, 称 $\gm(t)=(x(t),y(t)),\ t\in I$ 是 $\bbR^2$ 上 $C^1$ 向量场 $(P(x,y),Q(x,y))$ 的积分曲线, 若 $x'(t)=P(\gm(t))$, $y'(t)=Q(\gm(t))$, $\forall\ t\in I$. 设 $P_x+Q_y$ 在 $\bbR^2$ 上处处非零, 证明向量场 $(P,Q)$ 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).

 

() [北京大学2017数分] 假设 $\dps{x_0=1,\ x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}\ (n=1,2,\cdots)}$. 证明: 当 $n\to\infty$ 时, $\dps{x_n-\f{\pi}{2}=o\sex{\f{1}{n^n}}}$.

 

() [北京大学2017数分] 假设 $f\in C[0,1]$, $\dps{\lim_{x\to 0^+}\f{f(x)-f(0)}{x}=\al<\be=\lim_{x\to 1^-}\f{f(x)-f(1)}{x-1}}$. 证明: $\forall\ \lm\in (\al,\be),\ \exists\ x_1,x_2\in [0,1]$ 使得 $\dps{\lm=\f{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$.

 

() [北京大学2017数分] 设 $f$ 是 $(0,+\infty)$ 上的凹 (或凸) 函数且 $\dps{\lim_{x\to +\infty} f(x)}$ 存在有限, 则 $\dps{\lim_{x\to +\infty} xf'(x)=0}$ (仅在 $f$ 可导的点考虑极限过程).

 

() [北京大学2017数分] 设 $\phi\in C^3(\bbR^3)$, $\phi$ 及其各个偏导数 $\p_i\phi\ (i=1,2,3)$ 在点 $x_0\in\bbR^3$ 处取值都是 $0$. $x_0$ 的 $\del$ 邻域记为 $U_\del\ (\del>0)$. 如果 $(\p_{ij}^2\phi(x_0))_{3\times 3}$ 是严格正定的, 则当 $\del$ 充分小时, 证明如下极限存在并求之: $$\bex \lim_{t\to+\infty}t^\f{3}{2}\iiint_{U_\del} e^{-t\phi(x_1,x_2,x_3)}\rd x_1\rd x_2\rd x_3.\eex$$

 

() [北京大学2017数分] 将 $(0,\pi)$ 上常值函数 $f(x)=1$ 进行周期 $2\pi$ 奇延拓并展成正弦级数: $$\hj{ f(x)\sim \f{4}{\pi}\vsm{n}\f{1}{2n-1}\sin (2n-1)x. }$$ 该 Fourier 级数的前 $n$ 项和记为 $S_n(x)$, 则 $\forall\ x\in (0,\pi)$, $\dps{S_n(x)=\f{2}{\pi}\int_0^x \f{\sin 2nt}{\sin t}\rd t}$, 且 $\dps{\vlm{n}S_n(x)=1}$. 证明: $S_n(x)$ 的最大值点是 $\dps{\f{\pi}{2n}}$ 且 $\dps{\vlm{n}S_n\sex{\f{\pi}{2n}}=\f{2}{\pi}\int_0^\pi\f{\sin t}{t}\rd t}$.

 

() [湖南大学2014数分] 用极限定义证明若 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 则 $\dps{\vlm{n}\f{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a}$.

 

() [湖南大学2014数分] (1). 设 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{\ln\sex{1+\f{f(x)}{\sin 3x}}}{2^x-1}=2}$, 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{f(x)}{x^2}}$. (2). 设 $f(x)$ 有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, $f'(0)=2$, 求 $\dps{\lim_{x\to 0}[1+f(x)]^\f{1}{\ln (1+x)}}$.

 

() [湖南大学2014数分] 已知 $f(x)$ 有三阶导数, 且 $g(x)=|x-1|^3f(x)$. 试证: 当 $f(1)=0$ 时, $g(x)$ 在 $x=1$ 处有三阶导数, 但当 $f(1)\neq 0$ 时, $g(x)$ 在 $x=1$ 处无三阶导数.

 

() [湖南大学2014数分] 设 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界可积, 且 $\dps{h=\f{1}{n}}$, 证明: $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x =\sum_{k=1}^n f(kh)\cdot h -\f{h}{2}[f(1)-f(0)]+o\sex{\f{1}{n}}.\eex$$

 

() [湖南大学2014数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶导数连续, $f(0)=f(1)=0$, 并且 $x\in (0,1)$ 时, $|f''(x)|\leq A$. 求证: $$\bex |f'(x)|\leq\f{a}{2},\ \forall\ x\in (0,1).\eex$$

 

() [湖南大学2014数分] 计算第一型曲面积分 $\dps{\iint_S \f{1}{x^2+y^2+z^2}\rd S}$, 其中 $\dps{ S=\sed{(x,y,z);x^2+y^2=1,\ 0\leq z\leq 1}. }$

 

() [湖南大学2014数分] 设 $f_0(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $g(x,y)$ 在闭区间 $\dps{ D=\sed{(x,y);\ a\leq x\leq b,\ a\leq y\leq b} }$ 上连续, 对任何 $x\in [a,b]$, 令 $\dps{ f_n(x)=\int_0^x g(x,y)f_{n-1}(y)\rd y,\ n=1,2,3,\cdots. }$ 证明: 函数列 $\sed{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于零. 

 

() [湖南大学2014数分] 求椭球 $\dps{\f{x^2}{a^2}+\f{y^2}{b^2}+\f{z^2}{c^2}=1}$ 在第一卦限中的切平面与三个坐标平面所围成四面体的最小体积 $V$.

 

() [厦门大学2017高代] $n$ 阶行列式 $\dps{\sevm{ 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&1&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&1&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0}=}$ (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 将 $\dps{\sexm{ 2&1&3\\ 0&5&2\\ -2&4&1 }}$ 表示为对称矩阵和反对称矩阵的和 (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 若矩阵 $A=(\al_1,\al_2,\al_3,\al_4)$ 经过行初等变换化为 $\dps{\sexm{1&0&0&-3\\ 0&0&2&4\\ 0&-1&0&5\\ 0&0&0&0}}$, 那么向量组 $\al_1,\al_2,\al_3,\al_4$ 的无关组是 (   ),\ 其余向量由此极大无关组线性表出的表达式为 (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $n-1$, 且 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11}\neq 0$, 则线性方程组 $AX=0$ 的通解是 (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 设 $p(x)$ 是数域 $\bbF$ 上首一的不可约多项式, $f(x),g(x)\in\bbF[x]$, 若 $p(x)\mid f(x)g(x)$, 但 $p(x)$ 不整除 $f(x)$, 则 $(p(x),g(x))=$ (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 设 $\sed{\xi_1,\xi_2,\xi_3}$, $\sed{\eta_1,\eta_2}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 的一组基, $\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射, 满足 $\phi(\xi_1)=\eta_1+2\eta_2$, $\phi(\xi_2)=\eta_2$, $\phi(\xi_3)=\eta_1+2\eta_2$, 则 $\dim \ker \phi=$ (   ), $\ker\phi=$ (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则在复数域上 $A$ 与 $-A$ (   ) (选填: `` 必'', ``未必'') 合同, 在实数域上 $A$ 与 $-A$ (   ) (选填: ``必'', ``未必'') 合同.

 

() [厦门大学2017高代] $2$ 阶实对称正交阵全体按正交相似分类, 可分成 (   ) 类, 每类的正交相似标准型是 (   ).

 

() [厦门大学2017高代] 已知 $3$ 阶非零矩阵 $B$ 的每个列向量都是齐次线性方程组 $\seddm{ x_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+\lm x_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0 }$ 的解向量. (1) 求 $\lm$ 的值; (2) 求行列式 $\det B$. 

 

() [厦门大学2017高代] 设 $\dps{A=\sexm{ 1&0&0\\ 0&-2&0\\ 1&0&1 }}$, $A^*BA=2BA-8E$, 计算 $B$.

 

() [厦门大学2017高代] 设 $f(x),g(x)$ 是非零多项式, 证明 $(f(x),g(x))=1$ 的充要条件是对任意 $h(x)\in\bbF[x]$, 都有 $(h(x)f(x),g(x))=(h(x),g(x))$.

 

() [厦门大学2017高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $\al$ 是 $n$ 维非零实向量, 令 $B=A\al\al^T$, 其中 $\al^T$ 表示 $\al$ 的转置. 试求 $B$ 的所有特征值和相应的特征子空间, 并给出特征值子空间的基和维数.

 

() [厦门大学2017高代] 设 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间. 证明: $V=V_1\oplus V_2$ 的充要条件是存在 $V$ 上的幂等变换 $\sigma$, 使得 $\im\sigma=V_1$, $\ker \sigma=V_2$.

 

() [厦门大学2017高代] 设 $W$ 是 $\bbF^{n\times n}$ 中形如 $AB-BA$ 的矩阵生成的子空间, 求 $\dim W$ 并证明.

 

() [厦门大学2017高代] 求证 $\bbC$ 上两个 $n$ 阶方阵 $A,B$ 相似的充分必要条件是, 对于任意的复数 $a$ 和任意正整数 $k$, 均有 $$\bex \r(aE-A)^k=\r(aE-B)^k.\eex$$

 

() [中山大学2017数分] 求 $\dps{\vlmp{x}\sex{\cos \f{1}{x}}^{x^2}}$.

 

() [中山大学2017数分] 求 $\dps{\vlmp{n}\sum_{k=1}^n \f{1}{n}\sin\f{k\pi}{n}}$.

 

() [中山大学2017数分] 求 $\dps{\iint_{x^2+y^2<1}\e^{-x^2-y^2}\rd x\rd y}$.

 

() [中山大学2017数分] 求 $\dps{\int_0^2\rd y\int_{y/2}^1 x^3\cos(x^5)\rd x}$.

 

() [中山大学2017数分] $\dps{\oint_C y\rd x+z\rd y+x\rd z}$, 其中 $C$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线.

 

() [中山大学2017数分] 求级数 $\dps{\vsm{n}\f{(2n-1)^2}{n!}x^{2n-1}}$ 的和函数.

 

() [中山大学2017数分] 判断下列函数是否在 $(0,+\infty)$ 上一致连续, 并说明理由: (1) $f(x)=\sqrt{x}\ln x$; (2) $f(x)=x\ln x$.

 

() [中山大学2017数分] 如果 $u_n>0,\ n=1,2,\cdots$ 为单调递增数列. 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1-\f{u_n}{u_{n+1}}}}$ 当 $u_n$ 有界时收敛, 而当 $u_n$ 无界时发散.

 

() [中山大学2017数分] 求证: 方程 $\e^x=ax^2+bx+c$ 的根不超过三个.

 

() [中山大学2017数分] $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上右导数存在, 且 $f(a)=f(b)$. 求证: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f'_+(\xi)\leq 0$.

 

() [中山大学2017数分] 判别广义积分 $\dps{\int_0^\infty \f{\ln (1+x)}{x^p}\rd x}$ 的收敛性, 并说明理由.

 

() [中山大学2017数分] 讨论函数项级数 $\dps{\vsm{n}\f{x^2}{(1+x^2)^n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性.

 

() [中山大学2017数分] 把函数 $\dps{f(x)=\sex{x-\pi}^2}$ 在 $(0,\pi)$ 上展开成余弦级数, 并求级数 $\dps{\vsm{n}\f{1}{n^2}}$ 的和.

 

() [中山大学2017数分] 计算 $\dps{\iint_S (z^2+x)\rd y\rd z -z\rd x\rd y}$, 其中 $S$ 为曲面 $\dps{z=\f{x^2+y^2}{2},\ 0\leq z\leq 2}$ 下侧.